В предыдущих частях моделирования РЗА мы уже рассказывали о теории и основных этапах создания модели. Сегодня на конкретном примере разберём построение модели: трансформатор тока с насыщением.
Модель однофазного трансформатора тока с насыщением
Постановка задачи
Для качественных испытаний и проверки устройств релейной защиты необходима наиболее приближенная к реальной форма вторичного тока. Получение вторичного тока на реальных устройствах не всегда возможно, поэтому математическое моделирование является хорошим решением данной проблемы.
В работе были поставлены следующие задачи:
- создание математической модели, основанной на физических принципах работы трансформатора тока (далее – ТТ);
- реализация работы модели однофазного ТТ на языке Matlab;
- проверка работы модели на основании данных от производителей ТТ.
Математическая модель трансформатора тока
Трансформаторы тока предназначены для передачи измерительной информации о первичных токах в устройства измерения, защиты и автоматики. Простейший и самый распространенный тип ТТ – двухобмоточный. ТТ данного типа имеют одну первичную обмотку с числом витков w1 и одну вторичную обмотку с числом витков w2. Обмотки находятся на общем магнитопроводе, благодаря которому между ними существует хорошая электромагнитная связь.
Работа трансформатора основана на законе электромагнитной индукции. При подключении первичной обмотки трансформатора к сети с синусоидальным напряжением в обмотке возникает ток I1, который создает синусоидально изменяющийся магнитный поток Ф1, замыкающийся по магнитопроводу. Поток Ф1индуцирует ЭДС как в первичной, так и во вторичной обмотке. При подключении к вторичной обмотке нагрузки в этой обмотке возникает вторичный ток I2, который создает магнитный поток Ф2. Результирующий магнитный поток магнитопровода Ф создается током обеих обмоток [1].
Рисунок 1. Принцип устройства трансформатора
При создании модели ТТ приняты следующие допущения, которые не вносят больших погрешностей в результат:
- активное и индуктивное сопротивления первичной обмотки равны нулю;
- поле внутри магнитопровода распределено равномерно; за пределами магнитопровода поля нет.
Руководствуясь [2], для описания работы трансформатора тока можно использовать следующую систему уравнений:
где Rоб, Lоб – активное сопротивление и индуктивность вторичной обмотки; Rн, Lн – то же нагрузки; s – сечение стали магнитопровода; l – средняя длина силовой линии магнитного поля; i1, i2 – первичный и вторичный токи ТТ; w1, w2 – число витков первичной и вторичной обмоток соответственно; B = f(H) –характеристика намагничивания электротехнической стали
Моделирование насыщения выполнено путем задания кривой намагничивания (зависимость H=f(B)) в виде некоторой аппроксимирующей функции. В [3] приведены различные функции для задания кривой намагничивания. Не все из представленных функций обеспечивают необходимую точность, а также часть функций аппроксимирует кривую намагничивания не на всем диапазоне значений. Наиболее простыми в использовании, а также позволяющими получить высокую точность приближения можно считать следующие функции:
Данные функция хорошо подходит для аппроксимации кривой намагничивания стали. На рисунках 2 и 3 красными точками представлена кривая намагничивания стали 3408 предоставленная производителем, синими пунктирными линиями — аппроксимирующие функции с подобранными коэффициентами:
Рисунок 2. Аппроксимация кривой намагничивания стали 3408 функцией 1
Рисунок 3. Аппроксимация кривой намагничивания стали 3408 функцией 2
Погрешность аппроксимации:
Сравнивая данные аппроксимации можно сделать следующие выводы:
- небольшое количество коэффициентов и очевидность их влияния на форму кривой не вызывает трудностей при выборе их значений;
- обе функции достаточно точно описывают кривую намагничивания на всем диапазоне значений: в нуле, на бесконечности, в положительной и отрицательных областях. Поэтому нет необходимости в усложнении функций;
- первая функция оказалось точнее на всех участках;
- простота взятия производной не усложняет код программы.
В программе будем использовать функцию с гиперболическим синусом.
Реализация работы модели трансформатора тока на языке Matlab
Программу можно разделить на следующие части:
- ввод исходных параметров трансформатора тока;
- задание массивов первичного тока и времени;
- задание начальных условий;
- решение системы дифференциальных уравнений;
- обработка результатов.
Исходными параметрами являются: Rоб, Lоб – активное сопротивление и индуктивность вторичной обмотки; Rн, Lн – активное сопротивление и индукивность нагрузки; s – сечение стали магнитопровода; l – средняя длина силовой линии магнитного поля; w1, w2 – число витков первичной и вторичной обмоток соответственно; коэффициенты a,b,c кривой намагничивания стали.
Параметры ТТ могут быть получены из паспортных данных на конкретный тип ТТ, а в случае отсутствия таковых по запросу производителю ТТ.
%параметры трансформатора
L2=3.644*10^-5; %индуктивность вторичной обмотки, Гн
Ln=0.001146; %индуктивность нагрузки ТТ, Гн
R2=0.31; %сопротивление вторичной обмотки, Ом
Rn=0.48; %сопротивление нагрузки ТТ, Ом
w1=1; w2=200; %число витков первичной и вторичной обмотки
s=0.0007; %площадь сечения магнитопровода, м^2
l=0.37; %средняя длина магнитного пути, м
%коэффициенты кривой намагничивания
a=10^-12; b=19.04; c=18.1;
Массивы первичного тока и времени могут быть заданы самостоятельно или взяты извне. Пример задания массивов:
%задание массива времени
tk=0.2; %время окончания расчета, с
tsample=0.0001; %шаг расчета, с
ti=0:tsample:tk;
%задание массива первичного тока
i1m=10000; %амплитуда первичного тока, А
om=2*pi*50; %циклическая частота, рад/с
phi=-pi/2; %начальная фаза первичного тока, рад
i1=i1m*sin(om*ti+phi)+i1m*exp(-10*ti);
%задание массива производной первичного тока
di1=diff(i1)./diff(ti);
Задание начальных условий для вторичного тока и индукции:
%начальные условия
%индукция
B0=0;
%вторичный ток
i20=i1(1,1)*w1/w2;
Для решения систем дифференциальных уравнений в Matlab есть встроенные решатели. Одним из наиболее точных решателей является «ode45», который основан на методе Рунге-Кутта 4,5 порядка. Для решения нашу систему уравнений необходимо предварительно преобразовать к форме Коши и записать в файл-функцию.
Исходная система имеет вид:
В матричной форме:
В форме Коши:
Текст файла-функции:
function F=CT(t,x)
%x1 — индукция
%x2 — ток во вторичной обмотке
global L2 Ln R2 Rn w1 w2 s l a b c di1 i
F=zeros(2,1);
F(1)=(w2*x(2)*(R2+Rn)+(L2+Ln)*w1*di1(i))/(w2*s*w2+(L2+Ln)*l*(a*b*cosh(b*x(1))+c));
F(2)=(-l*(a*b*cosh(b*x(1))+c)*x(2)*(R2+Rn)+w2*s*w1*di1(i))/(w2*s*w2+(L2+Ln)*l*(a*b*cosh(b*x(1))+c));
end
Решение системы уравнений осуществляется в следующей последовательности:
- по имеющимся начальным условиям вычисляется значение индукции и вторичного тока;
- выполняется запись полученных значений в массив;
- полученные значения индукции и вторичного тока становятся новыми начальными условиями для выполнения вычислений на следующем шаге по времени.
for i=1:length(di1)
%решение системы уравнений
[t,x] = ode45(@CT,[ti(i) ti(i+1)],[B0;i20]);
%запись в массив
i2(i+1)=x(length(x(:,2)),2);
B(i+1)=x(length(x(:,1)),1);
%новые начальные условия
B0=x(length(x(:,1)),1);
i20=x(length(x(:,2)),2);
end
Пример работы программы приведен на рисунке 4. Кривая синего цвета соответствует первичному току, приведенному ко вторичным значениям, кривая красного цвета – вторичному току. На рисунке хорошо видны характерные для процесса насыщения ТТ искажения формы вторичного тока.
Рисунок 4. Пример работы программы
Проверка работы программы по данным производителей
Производителем была предоставлена кривая намагничивания стали и вольт-амперная характеристика (ВАХ) обмотки 10Р.
Координаты ВАХ пропорциональны координатам кривой намагничивания ТТ, т.е. ВАХ в определенном масштабе повторяет характеристику намагничивания стали магнитопровода. Данные характеристики связаны между собой следующими соотношениями:
На рисунке 5 черным цветом показана ВАХ ТТ типа ТОЛ-10 с коэффициентом трансформации 1000/5, предоставленная производителем, зеленым – полученная на модели с использование вышеуказанных соотношений.
Полученная ВАХ практически совпадает с ВАХ, предоставленной производителем.
Рисунок 5. Экспериментальная ВАХ обмотки 10Р
Для оценки адекватности модели выполнено количественное сравнение данных, полученных на модели с данными, предоставленными производителем ТТ.
На рисунке 6 приведены зависимости полных погрешностей ТТ в установившемся режиме КЗ от величины тока КЗ для ТТ типа ТОЛ-10 с коэффициентом трансформации 1000/5. Зависимости приведены для трех различных значений нагрузки на вторичные цепи ТТ.
Рисунок 6. Зависимости погрешности от тока КЗ для различной нагрузки
Заявленная производителем предельная кратность тока КЗ при которой погрешность не превышает 10% составляет:
— 5 – для величины нагрузки 50 ВА;
— 10 – для величины нагрузки 15 ВА;
— 20 – для величины нагрузки 3 ВА.
Из рисунка 6 видно, что полученная экспериментально предельная кратность тока КЗ выше, чем заявленная производителем.
Для ТТ типа ТОЛ-10 с коэффициентом трансформации 100/5 наблюдается обратная картина — предельная кратность вторичной обмотки ниже, чем заявленная производителем (рисунок 7).
Рисунок 7. Зависимости погрешности от тока КЗ для различной нагрузки
В процессе исследования модели на различных исполнениях ТТ типа ТОЛ-10 было выявлено, что для ТТ с номинальным первичным током 250 А и ниже погрешность превышает, заявленную производителем.
Для определения чувствительности модели к точности задания исходных данных (параметров ТТ) был выбран ТТ типа ТОЛ-10 со следующими параметрами:
- Номинальный первичный ток, А – 250;
- Номинальный вторичный ток, А – 5;
- Площадь сечения магнитопровода, м2 – 0,001;
- Средняя длина магнитного пути, м – 0,35;
- Активное сопротивление вторичной обмотки, Ом – 0,16;
- Сталь магнитопровода – сталь 3408;
- Номинальная вторичная нагрузка, ВА – 15.
- Номинальная предельная кратность вторичной обмотки – 10.
Методика исследования следующая: из трех параметров ТТ (сопротивление вторичной обмотки, сечение магнитопровода, средняя длина магнитного пути) фиксируется два, а третий варьируется и считается погрешность ТТ в установившемся режиме работы.
Проведя расчеты можно сделать следующий вывод: модель наиболее чувствительна к точности задания сечения магнитопровода, другие параметры слабо влияют на погрешность.
При изменении сечения в пределах от 90% до 120% значения, заявленного производителем (0,001 м2) погрешность изменяется в 6 раз – от 30% до 5% (рисунок 8). Нагрузка ТТ: 15 ВА. Кратность тока КЗ: 10.
Таким образом, точность, с которой предоставлены данные о площади сечения ТТ, не позволяет выполнить достоверное сравнение погрешностей, полученных на модели с заявленными производителем.
Рисунок 8. Зависимость погрешности ТТ в зависимости от сечения магнитопровода
Выводы
На языке Matlab реализована упрощенная модель однофазного трансформатора тока. Она позволяет получить ток во вторичной обмотке и индукцию в магнитопроводе по известному первичному току.
Для исследования модели ТТ необходимо задать его параметры, а также кривую намагничивания стали, которая может быть неизвестна. Однако она может быть получена из ВАХ вторичной обмотки, которая может быть предоставлена производителем или снята на самом ТТ.
В модели реализовано важное свойство трансформатора – насыщение магнитопровода. Оно является причиной искажения формы вторичного тока при больших токах, при токах, содержащих апериодическую составляющую, и при большой нагрузке вторичной обмотки. Результаты моделирования данных процессов говорят о правильности работы модели.
Проверка модели ТТ была выполнена путем сравнения характеристик, полученных в результате моделирования с заявленными производителем для ТТ типа ТОЛ-10.
В результате проверки были выявлены некоторые несоответствия данным производителя, конкретно: погрешность при кратности тока КЗ, равной номинальной предельной кратности. Наибольшие различия наблюдались у ТТ с номинальными первичными тока ниже 250А.
Несоответствия вызваны, как минимум, следующими причинами:
- модель чувствительна к заданию величины сечения магнитопровода. Небольшое отклонение оказывает сильное влияние на погрешность ТТ;
- кривая намагничивания не идеально соответствует приведенной производителем.
Точность, с которой предоставлены данные о площади сечения ТТ, не позволяет выполнить достоверное сравнение погрешностей, полученных на модели с заявленными производителем.
Тем не менее, модель можно считать адекватной и подходящей для исследования особенностей работы трансформаторов тока, влияния формы вторичного тока на поведение устройств РЗА.
Модель может быть улучшена путем учета гистерезиса.
Математическая модель трансформатора тока. Скачать.
Литература
[1] Афанасьев В.В., Адоньев Н.М., Кибель В.М., Сирота И.М., Стогний Б.С. Трансформаторы тока. – 2-е изд., перераб. и доп. – Л.: Энергоматомиздат, 1989.
[2] РД 153-34.0-35.301-2002 Инструкция по проверке трансформаторов тока, используемых в схемах релейной защиты и измерения. – ОАО «Фирма ОРГРЭС» и ОАО «Институт Энергосетьпроект».
[3] Король Е.Г., Анализ методов моделирования магнитных характеристик электромагнитов для компенсации магнитного поля электрооборудования. – «Электротехника и электромеханика», №2, 2007.